Tema 14. Combinatoria

1.    Definición

La combinatoria es la ciencia que se ocupa de contar los diferentes modos en los que se pueden ordenar o agrupar varios elementos siguiendo unas reglas prefijadas.
Ejemplos:
 - ¿ Cuántas quinielas de fútbol se pueden cubrir?
- ¿ Cuántas matrículas distintas se pueden formar con 4 dígitos y 3 letras?

Según las características de los grupos y  naturaleza de los elementos nos podemos encontrar con variaciones, combinaciones y permutaciones.

2. Estrategias de resolución

2.1 Estrategia del producto ( o del botellero)

Si una acción se puede hacer de n maneras diferentes y si en cada caso, una segunda acción se puede hacer de m maneras diferentes, entonces hay m·n maneras de realizar las dos operaciones de forma conjunta.

Ejemplo:
1. Una cafetería tiene 4 bocatas distintos y 5 refrescos distintos a escoger. ¿ Cuántos menús diferentes ofrece la cafetería?

	Refresco1	Refresco 2	Refresco 3	Refresco 4	Refresco 5
Bocata 1	B1,R1	B1,R2	B1,R3	B1,R4	B1,R5
Bocata 2	B2,R1	B2,R2	B2,R3	B2,R4	B2,R5
Bocata 3	B3,R1	B3,R2	B3,R3	B3,R4	B3,R5
Bocata 4	B4,R1	B4,R2	B4,R3	B4,R4	B4,R5

El número de menús distintos que ofrece es 4·5=20

2. Ana tiene 7 pantalones y 9 camisetas. ¿ De cuántas formas diferentes se  puede vestir?

3. ¿ Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar un dado rojo y otro verde?

4. Antes de un partido de fútbol se saludan los dos equipos, estrechando la mano cada uno de los 11 jugadores de cada equipo. ¿ Cuántos apretones de manos se dan?



¿ Qué sucede si en la cafetería añaden 3 postres distintos? ¿ y si Ana además de pantalones y camisetas tiene 2 pares de zapatillas distintas?
Al aumentar otra acción que se puede realizar a mayores, se multiplica a las anteriores todas las nuevas formas de realizarla.



Ejemplo 5: Una cafetería ofrece 4 bocatas distintos, 5 refrescos y 3 postres diferentes. ¿ Cuántos menús distintos ofrece la cafetería?
El número de menús distintos es de 4·5·3= 60

Ejemplo 6: Calcular el número de matrículas con 4 dígitos y 3 letras que se pueden formar.
Solución:
 Dígito 1: 10 posibles dígitos diferentes ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )
Dígito 2:10 posibles dígitos diferentes ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )
Dígito 3:10 posibles dígitos diferentes ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )
Dígito 4:10 posibles dígitos diferentes ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )

letra1: 24 posibilidades ( 27 letras del abecedario sin las 5 vocales)
letra2: 24 posibilidades ( 27 letras del abecedario sin las 5 vocales)
letra3:24 posibilidades ( 27 letras del abecedario sin las 5 vocales)

En total se pueden formar 10·10·10·10·24·24·24= 138 240 000 matrículas diferentes.

2.2 Estrategia de la suma
La estrategia de la suma se utiliza cuando queremos ver el número de soluciones a un problema en donde tenemos varias formas de obtener la solución, y estas formas no tienen elementos en común entonces el número de soluciones totales es igual a la suma de las soluciones de cada una de las formas.
Ejemplo: Ana tiene 1 pantalón y dos camisetas, una verde y otra roja ¿ Cuántas formas distintas de vestirse tiene Ana?
Solución:
 pantalón y camiseta verde  + pantalón y camiseta roja.
Ana tiene 2 formas diferentes para vestirse.



2.3 Estrategia del diagrama de árbol
Se utiliza en problemas con diferentes niveles ( estrategia del producto) y con diferentes formas de alcanzar la solución ( estrategia de la suma ). Cada nivel nuevo será una rama del anterior. Todas las soluciones se distribuyen en estructura de árbol con su tronco y sus ramas, hasta la solución final que es la suma de todas las hojas del árbol.
El diagrama en árbol es un procedimiento óptimo para contar conjuntos ordenados.

Ejemplo:
Entre los cuatro finalistas de un torneo ¿ de cuántas formas distintas se pueden repartir los títulos de campeón y  subcampeón?

Hay 4 posibles campeones: A, B, C o D. Si A es campeón hay 3 posibles subcampeones: B, C y D. Entonces por cada campeón hay 3 subcampeones.
En total hay 4·3=12 resultados distintos o pensado de otra forma 3+3+3+3=12.

3. VARIACIONES Y PERMUTACIONES: 

-   

Hay m elementos de partida y se forman agrupaciones de n de esos elementos Importa el orden.
Variaciones con repetición	VRm,n=mn
Variaciones ordinarias	Vm,n=m·(m-1)·(m-2)·….·(m-n+1)
permutaciones	Pm=Vm,n=m·(m-1)·(m- 2)·….·3·2·1 Pm=m!

Ejemplos:
1. ¿ Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras impares?
Las cifras impares son: 1,3,5,7,9, es decir 5 cifras impares
m=5 y se agrupan de 4 en 4, n=4
Son variaciones con repetición:VR_5,4=5⁴=625

2.¿Cuántas banderas diferentes, de tres franjas horizontales de igual ancho y de colores distintos, pueden confeccionarse a partir de siete colores diferentes?
Como importa el orden y no pueden repetirse los colores, la solución es:
 V_7,3=7·(7-1)·(7-2)·(7-3)=7·6·5=210

3. Una madre tiene 3 hijos ¿ de cuántas formas posibles puede llamar a los tres sin repetirlos?
Puede llamarlos de P₃=3!=3·2·1=6 formas distintas.


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